Вася записал в тетрадь целые числа $$x, y, z$$. А Петя в свою тетрадь записал числа...

Question

Вася записал в тетрадь целые числа $$x, y, z$$. А Петя в свою тетрадь записал числа $$x-3, y+3, z^2$$. Оказалось, что три числа, записанные Васей, совпали с тремя числами, записанными Петей. Найдите значение выражения $$x^2+y^2+z^2$$ , если $$x+y+z=454$$.
Ответить

Answer 1

Ясно, что x-3 не может равняться x, и y+3 не может равняться y.
Нужно решить три системы:
1)
{ x=y+3
{ y=z^2
{ z=x-3
{ x+y+z=454
Из 1 и 3 уравнения получаем
z=x-3=y+3-3=y
Из 2 уравнения
y=z^2=z=0 или 1; тогда x=3 или 4.
Но тогда x+y+z=454 не может быть.
2)
{ x=z^2
{ y=x-3
{ z=y+3
{ x+y+z=454
Из 2 и 3 уравнений
z=y+3=x-3+3=x
Из 1 уравнения
x=z^2=z=0 или 1; тогда y=-3 или -2.
Опять x+y+z=454 не может быть.
3)
{ x=y+3
{ y=x-3
{ z=z^2
{ x+y+z=454
Эта система единственная решаемая.
z=z^2 только если z=0 или 1.
Первые два уравнения одинаковы: x-y=3
x+x-3+z=454
2x+z=457
Учитывая, что числа целые, получаем, что z может равняться только 1.
2x=457-1=456
x=456/2=228; y=x-3=225; z=1
x^2+y^2+z^2=228^2+225^2+1^2=102610
Ответ 102610