Y ' - 2y + 3 = 0; x0 = 0; y0 = 1
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1 порядка.
Решается заменой y(x) = u(x)*v(x), тогда y ' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' - 2u*v + 3 = 0
Выносим u за скобки
u'*v + u*(v' - 2v) + 3 = 0
Найдем решение при v' - 2v = 0
v' = dv/dx = 2v
dv/v = 2 dx
Интегрируем обе части
ln v = 2x
v = e^(2x)
Подставляем в наше уравнение
u'*e^(2x) + u*0 + 3 = 0
u' = du/dx = -3/e^(2x) = -3e^(-2x)
du = -3e^(-2x) dx
Интегрируем обе части
u = -3/(-2)*e^(-2x) + C = 1,5*e^(-2x) + C
Итого получаем функцию. Это общее решение:
y(x) = u*v = (1,5*e^(-2x) + C)*e^(2x) = 1,5 + C*e^(2x)
Решение задачи Коши
y(0) = 1,5 + C*e^0 = 1,5 + C = 1
C = -0,5
Частное решение:
y(x) = 1,5 - 0,5*e^(2x)