Ребят помогите пожалуйста с решением,буду очень признательна!!!

Question 1

Question 2

Я бы помог, если бы не так много задач в одном вопросе.

Question 3

надо только 7

Question 4

7) а)
$\int\limits^8_1 {16 \frac{ \sqrt[3]{x^2} -5 \sqrt[3]{x} }{x^2} } \, dx =16 \int\limits^8_1 {x^{2/3-2}}\, dx-80\int\limits^8_1 {x^{1/3-2}}\, dx=$
$=16 \int\limits^8_1 {x^{-4/3}} \, dx -80\int\limits^8_1 {x^{-5/3}}\, dx=16 \frac{x^{-1/3}}{-1/3} |^8_1-80 \frac{x^{-2/3}}{-2/3} |^8_1=$
$=-48x^{-1/3}|^8_1+120x^{-2/3}|^8_1=-48( \frac{1}{2} -1)+120( \frac{1}{4} -1)=$
$= 48*\frac{1}{2} -120* \frac{3}{4} =24-90=-66$

б)
$\int\limits^3_0 { \frac{6x}{ \sqrt{1+8x} } } \, dx =6 \int\limits^3_0 { \frac{x}{ \sqrt{1+8x} } } \, dx$
Замена 1 + 8x = t; x = (t - 1)/8; dx = 1/8*dt
Пределы интегрирования: t(0) = 1 + 8*0 = 1; t(3) = 1 + 8*3 = 25
$6 \int\limits^3_0 { \frac{x}{ \sqrt{1+8x} } } \, dx= \frac{6}{8*8} \int\limits^{25}_1 { \frac{t-1}{ \sqrt{t} } } \, dt= \frac{3}{32} \int\limits^{25}_1 {( \sqrt{t} - \frac{1}{ \sqrt{t} } )} \, dt=$
$= \frac{3}{32} ( \frac{t^{3/2}}{3/2} - \frac{t^{1/2}}{1/2} )|^{25}_1=( \frac{1}{16}t^{3/2} - \frac{3}{16} t^{1/2})|^{25}_1=$
$= (\frac{1}{16}*5^3- \frac{3}{16} *5)-( \frac{1}{16}*1- \frac{3}{16} *1 )= \frac{125-15}{16}- \frac{1-3}{16}= \frac{112}{16} =7$

в)
$\int\limits^{3 \pi /2}_0 { \sqrt{2}* x*sin \frac{x}{2} } \, dx =2 \sqrt{2}* \int\limits^{3 \pi /2}_0 { \frac{x}{2} *sin \frac{x}{2}*2 } \, d (\frac{x}{2}) =$
Замена x/2 = t. Пределы интегрирования: t(0) = 0; t(3pi/2) = 3pi/4
$2 \sqrt{2}* \int\limits^{3 \pi /2}_0 { \frac{x}{2} *sin \frac{x}{2}*2 } \, d (\frac{x}{2}) =4 \sqrt{2} \int\limits^{3 \pi /4}_0 {t*sin(t)} \, dt$
Этот интеграл решается по частям
$4 \sqrt{2} \int\limits^{3 \pi /4}_0 {t*sin(t)} \, dt =|u=t;dv=sin(t)dt;du=dt;v=-cos(t)|=$
$=4 \sqrt{2}*(-t*cos(t)|^{3 \pi /4}_0+\int\limits^{3 \pi /4}_0 {cos(t)} \, dt) =$
$=4 \sqrt{2}(- \frac{3 \pi }{4}*cos \frac{3 \pi }{4} +sin(t)|^{3 \pi /4}_0)=-3 \pi \sqrt{2}( -\frac{ \sqrt{2} }{2} )+4 \sqrt{2}\frac{ \sqrt{2} }{2} =3 \pi +4$