A₁(3,0,1) B₁(1,3,0) C₁(4,-1,2) D₁(-4,3,5)
a) Длину отрезка в Декартовой системе можно считать
Если координаты вершин отрезка (x₁,y₁,z₁) и (x₂,y₂,z₂)
То l²=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²+(z₁-z₂)²
Длина AB²=(3-1)²+(0-3)²+(1-0)²=4+9+1=14
AB=√14
б) так же получим AC=√3 BC=√29
по теореме косинусов a² = b² + c²– 2bc cosα в треугольнике ΔABC
cosα=(b²+c²-a²)/2bc=(14+3-29)/2√42= -6/√42
Так же можно найти вектор AB=(1-3,3-0,0-1)=(-2,3,-1)
вектор AC=(4-3,-1-0,2-1)=(1,-1,1)
cos(AB,AC)=(-2*1 + 3*(-1)+(-1)*1)/√(-2)²+3²+(-1)²)*√((-1)²+(-1)²+1²)=
=(-2-3-1)/(√14*√3)=-6/√42
в) Уравнения линии проходящий через две точки (x₁,y₁,z₁) и (x₂,y₂,z₂)
(x - x₁)/(x₂-x₁)
= (y - y₁)/(y₂-y₁) = (z - z₁)/(z₂-z₁)
для A₁(3,0,1) B₁(1,3,0) (x - 3)/(1-3)
= (y - 0)/(3-0) = (z - 1)/(0-1)
(2-x)/2=y/3=1-z => 6-3x=2y=6-6z
Ответ 6-3x=2y=6-6z
г) A₁(3,0,1) B₁(1,3,0) C₁(4,-1,2) мы уже нашли уравнение векторов
→AB=(-2,3,-1) и →AC=(1,-1,1)
Найдем произведение векторов AB*AC
i j k
-2 3 -1
1 -1 1
найдём определитель матрицы
i(3*1-(-1*(-1))-j*(-2*1-1*(-1))+k*(-2*(-1)-1*3)=2i+j-k
вектором плоскости будет →n=(2,1,-1)
Запишем формулу плоскости с вектором →n проходящей через точку A₁(3,0,1) 2*(x-3)+1*(y-0)+(-1)*(z-1)=0
2x-6+y-z+1=0
Ответ 2x+y-z-5=0
д) Из уравнения плоскости ABC 2x+y-z-5=0 получаем нормальный вектор из коэффициентов при x,y,z {2,1,-1}={a,b,c}
для высоты с точки D₁(-4,3,5) на плоскость назначим временную переменную t
x=x₀+at
y=y₀+bt
z=z₀+ct
где (x₀,y₀,z₀) координаты вершины․ Получаем
x=-4+2t =>t=(x+4)/2
y=3+t => t=y-3
z=5-t => t=5-z
(x+4)/2=y-3=5-z это и есть уравнение высоты
Ответ (x+4)/2=y-3=5-z
е)
ж) M середина рёбра AD, N середина BC
формула середины отрезка
x₀=(x₁+x₂)/2 y₀=(y₁+y₂)/2 z₀=(z₁+z₂)/2 где 0 индекс координат середины, а 1 и 2 индексы координат концов отрезка
для AD найдем координаты точки M
x₀=-1/2 y₀=3/2 z₀=3 M(-1/2 , 3/2 , 3)
для BC найдем координаты точки N
x₀=5/2 y₀=1 z₀=1 N(5/2 , 1 , 1)
Координаты вектора →MN=(5/2-(-1/2),1-3/2,1-3)=(3,-1/2,-2)
Ответ (3,-1/2,-2)
з)