Найти частные решения однородных диф уравнений второго порядка а) y''+y'-6y=0...

0 голосов
72 просмотров

Найти частные решения однородных диф уравнений второго порядка а) y''+y'-6y=0 y(0)=3,y'(0)=1; б) y"-6y'+9y=0,y(0)=1,y'(0)=1 пожалуйста срочно


Математика (17 баллов) | 72 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

А)
y''+y'-6y=0
y=e^{kx}
(e^{kx})''+(e^{kx})'-6e^{kx}=0
k^2e^{kx}+ke^{kx}-6e^{kx}=0
e^{kx}(k^2+k-6)=0
k^2+k-6=0
(k+3)(k-2)=0

y=C_1e^{-3x}+C_2e^{2x}

\left \{ {{C_1e^{-3*0}+C_2e^{2*0}=3} \atop {-3C_1e^{-3*0}+2C_2e^{2*0}=1}} \right.
\left \{ {{C_1+C_2=3} \atop {-3C_1+2C_2=1}} \right.
\left \{ {{C_1=3-C_2} \atop {-3C_1+2C_2=1}} \right.
\left \{ {{C_1=3-C_2} \atop {-3(3-C_2)+2C_2=1}} \right.
\left \{ {{C_1=3-C_2} \atop {-9+3C_2+2C_2=1}} \right.
\left \{ {{C_1=3-C_2} \atop {5C_2=10}} \right.
\left \{ {{C_1=3-C_2} \atop {C_2=2}} \right.
\left \{ {{C_1=3-2=1} \atop {C_2=2}} \right.

y=e^{-3x}+2e^{2x}

б)
y''-6y'+9y=0
y=e^{kx}
(e^{kx})''-6(e^{kx})'+9e^{kx}=0
k^2e^{kx}-6ke^{kx}+9e^{kx}=0
e^{kx}(k^2-6k+9)=0
k^2-6k+9=0
(k-3)^2=0
k_1=k_2=3
Y=C_1e^{3x}+C_2xe^{3x}

\left \{ {{C_1e^{3*0}+C_2*0*e^{3*0}=1} \atop {3C_1e^{3*0}+C_2e^{3*0}+3C_2*0*e^{3*0}=1}} \right.
\left \{ {{C_1=1} \atop {3C_1+C_2=1}} \right.
\left \{ {{C_1=1} \atop {3+C_2=1}} \right.
\left \{ {{C_1=1} \atop {C_2=-2}} \right.

Y=e^{3x}-2xe^{3x}

(7.8k баллов)