Решите неравенства с логарифмами

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

#1
Нахождение ОДЗ:
$\frac{x}{2} \ \textgreater \ 0;x\ \textgreater \ 0$
$\frac{x}{2} \neq 1;x \neq 2$

$x^2-2x+1\ \textgreater \ 0$
$(x-1)^2\ \textgreater \ 0; \left \{ {{x\ \textless \ 1} \atop {x\ \textgreater \ 1}} \right.$

ОДЗ - (0;1)∪(1;2)∪(2;+∞)

Основание логарифма может принадлежать к двум промежуткам - (0;1) или (1;+∞). Найдем решение в каждом из случаев.

1)
$0\ \textless \ \frac{x}{2} \ \textless \ 1$
$0 \textless x \textless \ 2$

$log_{ \frac{x}{2} }(x-1)^2 \geq log_{\frac{x}{2} } (\frac{x}{2} })^2$
$(x-1)^2 \leq (\frac{x}{2} })^2$
$x^2-2x+1 \leq \frac{x^2}{4} }$
$4x^2-8x+4 \leq x^2$
$3x^2-8x+4 \leq 0$
$(x-2)(3x-2) \leq 0$
$\frac{2}{3} \leq x \leq 2$

Пересечение ОДЗ и решения дает нам интервал [2/3;1)∪(1;2)

2)
$\frac{x}{2} \ \textgreater \ 1; x\ \textgreater \ 2$

$log_{ \frac{x}{2} }(x-1)^2 \geq log_{\frac{x}{2} } (\frac{x}{2} })^2$
$(x-1)^2 \geq (\frac{x}{2} })^2$
$x^2-2x+1 \geq \frac{x^2}{4} }$
$4x^2-8x+4 \geq x^2$
$3x^2-8x+4 \geq 0$
$(x-2)(3x-2) \geq 0$
$\left \{ {{x \leq \frac{2}{3} } \atop {x \geq 2}} \right.$

Пересечение ОДЗ и решения дает нам (2;+∞)

Объединение решений случаев 1 и 2 дает общее решение неравенства - [2/3;1)∪(1;2)∪(2;+∞)

#2
Нахождение ОДЗ:
$25-x^2\ \textgreater \ 0$
$(x-5)(x+5)\ \textgreater \ 0$
$-5\ \textless \ x\ \textless \ 5$
ОДЗ - (-5;5)

$log_2^2 (25-x^2)-7log_2 (25-x^2)+12 \geq 0$
$log_2 (25-x^2)=a$
$a^2-7a+12 \geq 0$
$(a-4)(a-3) \geq 0$
$\left \{ {{a \leq 3} \atop {a \geq 4}} \right.$

$log_2 (25-x^2) \leq 3$
$log_2 (25-x^2) \leq log_2 8$
$25-x^2 \leq 8$
$x^2 \geq 17$
$\left \{ {{x \leq - \sqrt{17} } \atop {x \geq \sqrt{17} }} \right.$
(-∞;-√17]∪[√17;+∞)

$log_2 (25-x^2) \geq 4$
$log_2 (25-x^2) \geq log_2 16$
$25-x^2 \geq 16$
$x^2 \leq 9$
$-3 \leq x \leq 3$
[-3;3]

Объединение решений учетом ОДЗ (-5;5) - (-5;-√17]∪[-3;3]∪[√17;5)

SRT1905_zn (7.8k баллов) 28 Май, 18