AC = 3a
BC = 4a
MC = a
Q₁ - проекция точки Q на плоскость ABC
QQ₁ = a/2 как средняя линия треугольника BMC
PC = AC/2 = 3/2a
Q₁C = BC/2 = 2a
Q₁P по Пифагору
Q₁P = √(PC²+Q₁C²) = √(9/4a²+4a²) = a/2*√(9+16) = 5a/2
Теперь в треугольнике QQ₁P, QP - гипотенуза
QP = √(QQ₁²+Q₁P²) = √(1/4*a²+25/4*a²) = a/2*√26 = a√(13/2)
Всё.