Подробнее решить систему уравнений logy(x)-3logx(y)=2log2(x)=4-log2(y)

Question 1

Подробнее решить систему уравнений
logy(x)-3logx(y)=2
log2(x)=4-log2(y)

Question 2

$\left \{ {{log_yx-3*log_xy=2} \atop {log_2x=4-log_2y}} \right.$

ОДЗ:
$x\ \textgreater \ 0,$ $y\ \textgreater \ 0$
$x \neq 1,$ $y \neq 1$

Решим отдельно первое уравнение системы:

${log_yx-3*log_xy=2$

${log_yx- \frac{3}{log_yx} =2$

Замена:   ${log_yx=t$

$t+ \frac{3}{t} =2$

$t+ \frac{3}{t} -2=0$ $t \neq 0$

$t^2-2t-3=0$

$D=(-2)^2-4*1*(-3)=16$

$t_1= \frac{2+4}{2}=3$

$t_2= \frac{2-4}{2}=-1$

$log_yx=3$ или $log_yx=-1$

$x=y^3$ или $x= \frac{1}{y}$

Возвращаемся к системе уравнений:

$\left \{ {{log_2x=4-log_2y} \atop {x=y^3}} \right.$ или    $\left \{ {{log_2x=4-log_2y} \atop {x= \frac{1}{y} }} \right.$

$\left \{ {{log_2y^3+log_2y=4} \atop {x=y^3}} \right.$ или $\left \{ {{log_2 \frac{1}{y} +log_2y=4} \atop {x= \frac{1}{y} }} \right.$

$\left \{ {{3log_2y+log_2y=4} \atop {x=y^3}} \right.$ или $\left \{ {{-log_2y+log_2y=4} \atop {x= \frac{1}{y} }} \right.$

$\left \{ {{4log_2y=4} \atop {x=y^3}} \right.$ или $\left \{ {{0 \neq 4} \atop {x= \frac{1}{y} }} \right.$

$\left \{ {{log_2y=1} \atop {x=y^3}} \right.$    или нет решений

$\left \{ {{y=2} \atop {x=2^3}} \right.$

$\left \{ {{y=2} \atop {x=8}} \right.$

Ответ:   $(8;2)$

mukus13_zn · Answer 1 · 2018-05-28T10:22:17+0000

$\left \{ {{log_yx-3*log_xy=2} \atop {log_2x=4-log_2y}} \right.$

ОДЗ:
$x\ \textgreater \ 0,$ $y\ \textgreater \ 0$
$x \neq 1,$ $y \neq 1$

Решим отдельно первое уравнение системы:

${log_yx-3*log_xy=2$

${log_yx- \frac{3}{log_yx} =2$

Замена:   ${log_yx=t$

$t+ \frac{3}{t} =2$

$t+ \frac{3}{t} -2=0$ $t \neq 0$

$t^2-2t-3=0$

$D=(-2)^2-4*1*(-3)=16$

$t_1= \frac{2+4}{2}=3$

$t_2= \frac{2-4}{2}=-1$

$log_yx=3$ или $log_yx=-1$

$x=y^3$ или $x= \frac{1}{y}$

Возвращаемся к системе уравнений:

$\left \{ {{log_2x=4-log_2y} \atop {x=y^3}} \right.$ или    $\left \{ {{log_2x=4-log_2y} \atop {x= \frac{1}{y} }} \right.$

$\left \{ {{log_2y^3+log_2y=4} \atop {x=y^3}} \right.$ или $\left \{ {{log_2 \frac{1}{y} +log_2y=4} \atop {x= \frac{1}{y} }} \right.$

$\left \{ {{3log_2y+log_2y=4} \atop {x=y^3}} \right.$ или $\left \{ {{-log_2y+log_2y=4} \atop {x= \frac{1}{y} }} \right.$

$\left \{ {{4log_2y=4} \atop {x=y^3}} \right.$ или $\left \{ {{0 \neq 4} \atop {x= \frac{1}{y} }} \right.$

$\left \{ {{log_2y=1} \atop {x=y^3}} \right.$    или нет решений

$\left \{ {{y=2} \atop {x=2^3}} \right.$

$\left \{ {{y=2} \atop {x=8}} \right.$

Ответ:   $(8;2)$