1. Верно. Если два числа равны, то будут равны и их модули. То есть, мы, по сути, имеем дело с одним и тем же числом (так как a=b). Очевидно, что его модуль будет равен самому себе, то есть [a]=[a]. Например: a=b=7. Очевидно, что [a]=[b]=[7]=7.
2. Не верно. Если модули чисел равны, это не значит, что сами числа равны. Например, числа a=5 и b=-5. Их модули равны: [5]=[-5]=5. Но сами-то числа не равны! Одно -- положительное, другое -- отрицательное.
3. Верно. Допустим, a=10, b=-10. Тогда: [10]=[-10]=10.
4. Не верно. По условию модуль числа а равен числу b. А если число b -- отрицательное? Ведь модуль всегда неотрицательное число ([a]≥0)! Например, a=b=-9. Тогда [-9]=-9, чего быть не может.
5. Верно. Это следует из пунктов 1. и 3..
6. Не верно. Множество целых чисел -- это все натуральные числа (1, 2, 3 и т. д.), все числа, противоположные натуральным (-1, -2, -3 и т. д.), а также число ноль. Если a=0, то [a]=0. А ноль -- это не натуральное число, то есть при a=0 модуль [a] не является натуральным числом.