Доказать, что для a ∈ R верно (a²+a+2)/√(a²+a+1) ≥ 2

Переносим все в левую часть неравенства и работаем над упрощением выражения в левой части

$\displaystyle \frac{a^2+a+2}{ \sqrt{a^2+a+1} } \geq 0~\Leftrightarrow~ \frac{\bigg(a^2+a+1\bigg)- 2\sqrt{a^2+a+1}+1 }{ \sqrt{a^2+a+1} } \geq 0,\\ \\ \\\dfrac{\bigg( \sqrt{a^2+a+1}-1\bigg)^2 }{ \sqrt{a^2+a+1} } \geq 0$

Неравенство истинно, т.к. $\bigg( \sqrt{a^2+a+1}-1\bigg)^2 \geq 0$ и $\sqrt{a^2+a+1}\ \textgreater \ 0$ при $a \in R$

Что и нужно было доказать.