X*y'+y=x^3 помогите решить дифференциальные уравнения первого порядка.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Для удобства поделим левую и правую части дифференциального уравнения на x:
$y'+ \frac{y}{x} =x^2$
Классификация: Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, линейное неоднородное.

Данное дифференциальное уравнение можно решить двумя способами. Первое это метод Бернулли, а второе - метод Лагранжа. Приведу эти способы вместе.

Метод Бернулли.

Введём замену переменных $y=uv$ , тогда по правилу дифференцирования двух функций: $y'=u'v+uv'$ . Получим:

$u'v+uv'+ \frac{uv}{x}=x^2$
$u'v+u(v'+\frac{v}{x})=x^2$

Это решение состоит из двух этапов: 1) это принять второе слагаемое равным 0;
$v'+\frac{v}{x}=0$ - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
$\dfrac{dv}{v} \displaystyle=- \frac{dx}{x} ;~~~~\Rightarrow~~~~ \int \frac{dv}{v}=-\int \frac{dx}{x} ;~~~~\Rightarrow~~~~ \ln|v|=-\ln|x|$
откуда получаем $v= \frac{1}{x}$

Поскольку второе слагаемое равняется нулю, то подставив найденную функцию v(x) в уравнение, получим

$u'\cdot \frac{1}{x} =x^2\\ \\ u'=x^3\\ \\ u=\displaystyle \int x^3dx= \frac{x^4}{4} +C$

Тогда, осуществив обратную замену, общее решение данного ДУ:

$y=\bigg(\displaystyle \frac{x^4}{4} +C\bigg)\cdot \frac{1}{x} =\frac{x^3}{4} + \frac{C}{x}$

Метод Лагранжа.
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:
$y'+ \frac{y}{x} =0$ - уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяя переменные и проинтегрировав, получим общее решение однородного уравнения:
$\displaystyle \int \frac{dy}{y} =-\int \frac{dx}{x} ;~~~~~\Rightarrow~~~~~ y= \frac{C}{x}$

Примем константу за функцию, т.е. $C=C(x)$ и имеем $y= \dfrac{C(x)}{x}$
Тогда дифференцируя по правилу частности двух функций, получим
$y'=\dfrac{xC'(x)-C(x)}{x^2}$

И тогда, подставив эти данные в исходное уравнение, получаем

$\dfrac{xC'(x)-C(x)}{x^2} + \dfrac{C(x)}{x^2} =x^2\\ \\ \\ C'(x)=x^3;~~~~\Rightarrow~~~~ C(x)=\displaystyle \int x^3dx= \frac{x^4}{4}+C_1$

И, вернувшись к обратной замене, получаем общее решение линейного неоднородного уравнения:
$y=\displaystyle \frac{\frac{x^4}{4}+C_1 }{x} = \frac{x^3}{4}+ \frac{C_1}{x}$

LecToRJkeeeee_zn (51.5k баллов) 28 Май, 18