Найти производную dy/dx y=(1-lnx)^(x^(1/2))

Question 1

Найти производную dy/dx
y=(1-lnx)^(x^(1/2))

Question 2

Используем свойство логарифма:
$a = e^{lna}$
После этого берётся производная показательной функции, а т.к. функция сложная, то домножается на производную показателя. Сам показатель - тоже функция сложная, используем правило дифференцирования произведения и т.д.

$[(1-lnx)^{x^{1/2}}]' = [ e^{ ln( (1-lnx)^{x^{1/2}} )} ]' = [e^{x^{1/2}*ln(1-lnx)} ]' = \\ \\ = e^{x^{1/2}*ln(1-lnx) } * [ x^{1/2}*ln(1-lnx) ]' = \\ \\ = (1-lnx)^{x^{1/2}} [ (x^{1/2})'*ln(1-lnx) + x^{1/2}*(ln(1-lnx))' ]= \\ \\ = (1-lnx)^{x^{1/2}} [ \frac{1}{2} x^{-1/2}*ln(1-lnx) + x^{1/2} \frac{(1-lnx)'}{ 1-lnx} ] = \\ \\ = (1-lnx)^{x^{1/2}} [ \frac{ln(1-lnx)}{2x^{1/2}} + x^{1/2} \frac{-1/x}{1-lnx} ] = \\ \\ (1-lnx)^{x^{1/2}} [ \frac{ln(1-lnx)}{2x^{1/2}} - \frac{1}{x^{1/2}(1-lnx)} ]$

AssignFile_zn · Answer 1 · 2018-05-28T13:45:47+0000

Используем свойство логарифма:
$a = e^{lna}$
После этого берётся производная показательной функции, а т.к. функция сложная, то домножается на производную показателя. Сам показатель - тоже функция сложная, используем правило дифференцирования произведения и т.д.

$[(1-lnx)^{x^{1/2}}]' = [ e^{ ln( (1-lnx)^{x^{1/2}} )} ]' = [e^{x^{1/2}*ln(1-lnx)} ]' = \\ \\ = e^{x^{1/2}*ln(1-lnx) } * [ x^{1/2}*ln(1-lnx) ]' = \\ \\ = (1-lnx)^{x^{1/2}} [ (x^{1/2})'*ln(1-lnx) + x^{1/2}*(ln(1-lnx))' ]= \\ \\ = (1-lnx)^{x^{1/2}} [ \frac{1}{2} x^{-1/2}*ln(1-lnx) + x^{1/2} \frac{(1-lnx)'}{ 1-lnx} ] = \\ \\ = (1-lnx)^{x^{1/2}} [ \frac{ln(1-lnx)}{2x^{1/2}} + x^{1/2} \frac{-1/x}{1-lnx} ] = \\ \\ (1-lnx)^{x^{1/2}} [ \frac{ln(1-lnx)}{2x^{1/2}} - \frac{1}{x^{1/2}(1-lnx)} ]$