Докажите, что для любого острого угла А справедливо: sinA < tgA

Если считать, что α ≠ 0, когда неравенство превращается в равенство, то острый угол 0 < α < 90°.

$sin \alpha \ \textless \ tg \alpha \\ \\ sin \alpha \ \textless \ \frac{sin \alpha }{cos \alpha } \\ \\ 1 \ \textless \ \frac{1}{cos \alpha } \\ \\ cos \alpha \ \textless \ 1$

Косинус равен 1 при α = 0 (этот угол исключили); а в диапазоне 0 < α < 90° неравенство выполняется.