Найдите область определения функции с подробным решением

[Значение под квадратным корнем большее 0]
$log_{2^2}x- 4log(x+ 3)\ \textgreater \ 0.$

[Выражение под знаком логарифма большее 0]
1) x> 0;
2) x+ 3> 0
x> -3.
x> 0 объединяет два результата.
В принципе, основной результат мы имеет, но можно еще свести уравнение.

[Число которое умножается на логарифм идёт в степень его выражения
Степень основания идёт на перед логарифма, но в знаменатель, если перед логарифмом уже есть какое-то число, то оно идёт в числитель, а степень с основания в знаменатель]

Получим выражение:
$\frac{1}{2} log_{2}x- log_{2}(x+3)^4\ \textgreater \ 0.$

[ $x^{\frac{1}{2}}= \sqrt{x}$ ]

[Если два логарифма с равными основаниями вычитаются, то в результате будет логарифм с этим основанием, а выражения делятся]
$log_{2}(\frac{ \sqrt{x}}{ (x+ 3)^{4} })\ \textgreater \ 0.$

Выражение, что стоит в знаменателе не может быть равным 0, так как на 0 делить нельзя.
(x+ 4)⁴ не равно 0.

Вернемся к первому ОДЗ.
x> 0
x ∈ (0; +∞).