Помогите пожалуйста решить

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Составим характеристическое уравнение и найдем собственные числа из этого характеристического уравнения.
$\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}3-\lambda&-2&2\\ 2&-1-\lambda&2\\ 2&-2&3-\lambda\end{array}\right|~~~~~ \boxed{~=~}$
Находим определитель по правилу треугольника и приравниваем полученное выражение к нулю.
$\boxed{=}~(3-\lambda)^2(-1-\lambda)-8-8+4(1+\lambda)+4(3-\lambda)+4(3-\lambda)=\\ =-(3-\lambda)^2(1+\lambda)-16+4+4\lambda+24-8\lambda=-(3-\lambda)^2(1+\lambda)+\\ +12-4\lambda=-(3-\lambda)^2(1+\lambda)+4(3-\lambda)=(3-\lambda)((\lambda-3)(1+\lambda)+4)=\\ =(3-\lambda)(\lambda^2-2\lambda-3+4)=(3-\lambda)(\lambda^2-2\lambda+1)=(3-\lambda)(\lambda-1)^2=0$

Для каждого $\lambda$ найдем его собственные вектора.
1) Подставляя $\lambda=1$ в систему
$\left(\begin{array}{ccc}3-1&-2&2\\ 2&-1-1&2\\ 2&-2&3-1\end{array}\right \left|\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}2&-2&2\\ 2&-2&2\\ 2&-2&2\end{array}\right \left|\begin{array}{ccc}0\\ 0 \\ 0\end{array}\right)$
Эта система может быть преобразована в одно уравнение следующего вида:
$x_1-x_2+x_3=0$ откуда $x_1=x_2-x_3$
Все эти три уравнения являются одинаковыми, а значит корни можно выбрать самим.
Пусть $x_2=1,~~ x_3=0$ то собственный вектор $v_1= \left(\begin{array}{ccc}1\\1\\0\end{array}\right)$ . Аналогично, пусть $x_2=0;~~ x_3=1$ то собственный вектор $v_2= \left(\begin{array}{ccc}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

2) Снова же подставив собственное значение $\lambda =3$ , получим
$\left(\begin{array}{ccc}0&-2&2\\ 2&-4&2\\ 2&-2&0\end{array}\right \left|\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right)\sim$
Система однородная и применим к ней метод Жордана-Гаусса.
$\left(\begin{array}{ccc}1&-2&1\\ 0&-2&2\\0&2&-2\end{array}\right \left|\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1&-2&1\\ 0&1&-1\\ 0&1&-1\end{array}\right \left|\begin{array}{ccc}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1&-2&1\\ 0&1&-1\\ 0&0&0\end{array}\right \left|\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right)$

Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x₁ ,x₂ через свободные x₃, то есть нашли общее решение:
$\displaystyle \left \{ {{x_1-x_3=0} \atop {x_2-x_3=0}} \right. ~~~~\Rightarrow~~~~ \left \{ {{x_2=x_3} \atop {x_1=x_3}} \right.$

Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ = 3, имеет вид: $v_3= \left(\begin{array}{ccc}x_3\\x_3\\x_3\end{array}\right)$

где x₃ - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x₃ = 1: $v_3= \left(\begin{array}{ccc}1\\1\\1\end{array}\right)$

LecToRJkeeeee_zn (51.5k баллов) 28 Май, 18