G(x,y)=x^2+xy+y^2-2x-4y-2 иследовать ** экстремум

Question

Дан 1 ответ

SRT1905_zn · Answer 1 · 2018-05-28T16:16:38+0000

Для функции нескольких переменных точка экстремума находится следующим образом
1) нахождение частных производных
2) приравнивание их к нулю
3) нахождение стационарной точки
4) определение ее характера через гессиан

$\left \{ {{G'_x=2x+y-2=0} \atop {G'_y=x+2y-4=0}} \right.$
$\left \{ {{2x+y=2} \atop {2x+4y=8}} \right.$
$\left \{ {{2x+y=2} \atop {3y=6}} \right.$
$\left \{ {{2x+y=2} \atop {y=2}} \right.$
$\left \{ {{2x+2=2} \atop {y=2}} \right.$
$\left \{ {{x=0} \atop {y=2}} \right.$

Точка (0,2) является стационарной, далее определим ее характер

$G_{xx}''=2; G_{xy}''=G_{yx}''=1; G_{yy}''=2$

$H= \left[\begin{array}{cc}2&1\\1&2\end{array}\right]$
Матрица вторых производных, или гессиан, состоит только из констант. Это значит, что функция имеет лишь глобальный экстремум.
Проверим гессиан на знакоопределенность.
Если гессиан положительно определён, то есть все главные миноры положительны, то найденная нами точка является точкой глобального минимума.
Если гессиан отрицательно определён, то есть знаки всех главных миноров чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен, то найденная нами точка является точкой глобального максимума.

$H_1=2$ - 1 минор положительный.
$H_2=\left|\begin{array}{cc}2&1\\1&2\end{array}\right|=2*2-1*1=3$ - 2 минор положительный.
Оба миноры положительны, значит найденная точка - это точка глобального минимума.

Ответ: точка (0,2) является точкой глобального минимума