Нічого складного чи марудного: просто треба погляд фахівця. Допоможіть, будь ласка. Чому...

Решение уравнения $sint=0$ можно записать в виде
$t=\frac{\pi}{2}+\pi k\; ,\; k\in Z$ .
При k=-1 получим значение $t=-\frac{\pi}{2}$ ,
а при k=0 получим значение $t=+\frac{\pi}{2}$ .
Тогда можно решение записать не коротко $t=\frac{\pi}{2}+\pi k$ , а более подробно $t= \left [ {{-\frac{\pi}{2}+2\pi k\; ,\; k\in Z} \atop {+\frac{\pi}{2}+2\pi k\; ,\; k\in Z}} \right.$ .
В такой форме записи нужно уже прибавлять наименьший положительный период 2Пk, чтобы из точки $t=\frac{\pi}{2}$ или $t=-\frac{\pi}{2}$ вернуться через период 2Пk в неё же .
При решении примера выбрали такую запись потому, что в первом уравнении системы присутствует sin. А значение синуса при аргументе П/2 и (-П/2) различные: $sin\frac{\pi}{2}=1\; ,\; \; a\; \; sin(-\frac{\pi}{2})=-1$ . Поэтому, чтобы не упустить важные выводы стали рассматривать не один, а два случая .