Найти период функции y=cos(sin(x))

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Нужно найти такое наименьшее положительное T, чтобы при любом x выполнялось равенство $\cos\sin x=\cos\sin(x+T)$ .

Переносим всё в одну часть и раскладываем по формуле разности косинусов:
$\cos\sin x-\cos\sin(x+T)=0\\ 2\sin\left(\dfrac{\sin(x+T)+\sin x}2\right)\sin\left(\dfrac{\sin(x+T)-\sin x}2\right)=0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один сомножитель равен нулю:
$\left[\begin{array}{l}\sin\left(\dfrac{\sin(x+T)+\sin x}2\right)=0\\\sin\left(\dfrac{\sin(x+T)-\sin x}2\right)=0\end{array}\right. \left[\begin{array}{l}\sin(x+T)+\sin x=2\pi n,n\in \mathbb Z\\\sin(x+T)-\sin x=2\pi k,k\in\mathbb Z\end{array}\right.$

Синус принимает значения в промежутке [-1, 1], значит сумма и разность синусов по модулю не превосходят 2. Значит, в полученном выше решении n = k = 0. Раскладываем сумму и разность синусов:
$\left[\begin{array}{l}\sin(x+T)+\sin x=0\\\sin(x+T)-\sin x=0\end{array}\right.\left[\begin{array}{l}2\sin\dfrac{2x+T}2\cos\dfrac T2=0\\2\sin\dfrac T2\cos\dfrac{2x+T}2=0\end{array}\right.$

Совокупность этих двух равенств можно обратно заменить на произведение, затем пользуемся формулой синуса двойного аргумента.
$2\sin\dfrac{2x+T}2\cos\dfrac T2\cdot2\sin\dfrac T2\cos\dfrac{2x+T}2=0\\ 2\sin\dfrac{2x+T}2\cos\dfrac{2x+T}2\cdot2\sin\dfrac T2\cos\dfrac T2=0\\ \sin(2x+T)\sin T=0$

sin(2x + T) вообще говоря не равно нулю. Чтобы равенство выполнялось при всех x, sin T должен быть равен нулю, откуда T = πs, s ∈ Z. Нас интересует наименьший положительный период, это T = π.

Ответ. π

nelle987_zn (148k баллов) 28 Май, 18