3. Интегрирование элементарных функций 3.3. Вычислить следующие интегралы, используя...

Question 1

3. Интегрирование элементарных функций
3.3. Вычислить следующие интегралы, используя подведение под знак дифференциала
3.4. Вычислить следующие интегралы, используя правило интегрирования по частям

Question 2

Решите задачу:

$1)\int\limits {\frac{ln^2x}{x}} \, dx=|d(lnx)= \frac{dx}{x}|= \int\limits{ln^2x} \, d(lnx)= \frac{ln^3x}{3}+C$

$2) \int\limits{e^{cosx}}\cdot sinx \, dx =|d(cosx)=sinx\cdot dx|=\int\limits{e^{cosx}}\, d(cosx)=e^{cosx}+C$

$3) \int\limits{ \frac{e^{arctgx}}{1+x^2} } \, dx=|d(arctgx)= \frac{dx}{1+x^2}|= \int\limits{e^{arctgx}} \, d(arctgx)=e^{arctgx}+C$

$4) \int\limits{ \frac{x^6}{x^{14}+5} } \, dx= \frac{1}{5}\int\limits{ \frac{x^6}{ \frac{x^{14}}{5}+1} } \, dx=\frac{1}{5}\int\limits{ \frac{x^6}{( \frac{x^{7}}{ \sqrt{5} })^2+1} } \, dx=|d( \frac{x^7}{ \sqrt{5} })= \frac{7x^6}{ \sqrt{5} }dx |=$ $\frac{1}{7 \sqrt{5} }\int\limits{ \frac{1}{( \frac{x^{7}}{ \sqrt{5} })^2+1} } \, d( \frac{x^7}{ \sqrt{5} })=\frac{1}{7 \sqrt{5} }arctg(\frac{x^7}{ \sqrt{5} })+C$

$5) \int\limits{ \frac{1-2sinx}{cos^2x} } \, dx = \int\limits{ \frac{1}{cos^2x} } \, dx - 2\int\limits{ \frac{sinx}{cos^2x} } \, dx$
$\int\limits{ \frac{1}{cos^2x} } \, dx =tgx+C$
$\int\limits{ \frac{sinx}{cos^2x} } \, dx=|d(cosx)=-sinxdx|=- \int\limits{ \frac{1}{cos^2x} } \, d(cosx) = \frac{1}{cosx}+C$
$\int\limits{ \frac{1-2sinx}{cos^2x} } \, dx =tgx- \frac{2}{cosx}+C$

$\int\limits{ \frac{ln(x)-3}{x \sqrt{lnx} } } \, dx =|d(lnx)= \frac{dx}{x} |=\int\limits{ \frac{ln(x)-3}{\sqrt{lnx} } } \, d(lnx)=$ $\int\limits{( \frac{ln(x)}{\sqrt{lnx} } - \frac{3}{ \sqrt{lnx}}) } \, d(lnx)=\int\limits{\sqrt{lnx} } \, d(lnx)-3\int\limits{ (lnx}})^{- \frac{1}{2} } } \, d(lnx)=$ $\frac{2}{3} (lnx)^{ \frac{3}{2}} -6 \sqrt{lnx}+C= \frac{2}{3} lnx \sqrt{lnx} -6 \sqrt{lnx}+C$

$\int\limits {x \cdot cosx} \, dx=\begin{vmatrix}v=x &dv=dx \\du=cosxdx &u=sinx\end{vmatrix} =xsinx- \int\limits{sinx} \, dx=$ $xsinx+cosx +C$

$\int\limits{xe^x} \, dx=\begin{vmatrix}v=x &dv=dx \\du=e^xdx &u=e^x\end{vmatrix}=xe^x- \int\limits{e^x} \, dx=xe^x-e^x+C$

$\int\limits {xsin(2x)} \, dx=\begin{vmatrix}v=x &dv=dx \\du=sin2xdx &u=-\frac{1}{2}cos2x\end{vmatrix}=$ $-\frac{x}{2}cosx+ \frac{1}{2} \int\limits{cos2x} \,dx=-\frac{x}{2}cosx+ \frac{1}{4}sin(2x)+C$

Question 3

спасибо

Question 4

только не вижу 6 из 3,3 и задание 3.4

Question 5

Все задания выполнены и видны. 6ое задание сразу за 5ым, а дальше задания 3.4.