При каких натуральных значениях n существует натуральное число m , при котором...

Разложим левую часть на множители:

$m^3+10m^2+16m=3^n \\ \\ m(m+2)(m+8) = 3^n$

Каждый из трёх множителей должен быть степенью 3.
$m=3^a; m+2= 3^b; m+8 = 3^c;$
где a ≥0; b≥0; c≥0

Из второго выражения вычтем первое:
$m+2-m= 3^b -3^a \\ 3^a(3^{b-a}-1)=2$

Отсюда, или $3^a = 2$ и $3^{b-a}-1 =1$ , что невозможно; или $3^a=1$ и $3^{b-a}-1=2$ . Тогда, a=0 и b=1.

Аналогично, из третьего выражения вычтем первое:
$m+8-m= 3^c -3^a \\ 3^a(3^{c-a}-1)=8$
Отсюда получаем решение при a=0 и c=2,

Итак, получаем единственное решение:
$m=3^0=1; m+2= 3^1 =3; m+8 = 3^2 =9; \\ \\ m=1$

Подставляем m=1 в исходное выражение:
$1^3+10*1^2+16*1=3^n \\ \\ 3^n = 27=3^3 \\ \\ n=3$

Ответ: 3