Lim x стремится к +оо= (sqrt(x^2+2x)-(sqrt(x^2+x)))

Неопределённость ∞-∞ раскрываем умножением и делением на выражение, сопряжённое исходному.

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+2x} - \sqrt{x^2+x}) = \\ \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{ (\sqrt{x^2+2x} - \sqrt{x^2+x})* (\sqrt{x^2+2x} + \sqrt{x^2+x})}{ \sqrt{x^2+2x} + \sqrt{x^2+x}} = \\ \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+2x-x^2-x}{x\sqrt{1+ \frac{2}{x} } + x\sqrt{1+ \frac{1}{x} }} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{ \sqrt{1+ \frac{2}{x} }+ \sqrt{1+\frac{1}{x} } } = \\ \\ \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{2}{\infty} }+ \sqrt{1+\frac{1}{\infty} } } = \frac{1}{ \sqrt{1+0} + \sqrt{1+0} } = \frac{1}{2}$