Пример 1. При каких значениях a уравнение ax2 + 2x + 1 = 0 имеет два различных корня?
Решение.
Данное уравнение является квадратным относительно переменной x при a№ 0 и имеет различные корни, когда его дискриминант
т. е. при a < 1.
Кроме того, при a = 0 получается уравнение 2x + 1 = 0, имеющее один корень.
Таким образом, a О (–Ґ; 0) И (0; 1).
Правило 1. Если коэффициент при x2 многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.
Пример 2. Уравнение ax2 + 8x + c = 0 имеет единственный корень, равный 1. Чему равны a и c?
Решение. Начнем решение задачи с особого случая a = 0, уравнение имеет вид 8x + c = 0. Это линейное уравнение имеет решение x0 = 1 при c = – 8.
При a № 0 квадратное уравнение имеет единственный корень, если
Кроме того, подставив корень x0 = 1 в уравнение, получим a + 8 + c = 0.
Решая систему двух линейных уравнений, найдем a = c = – 4.