Исследовать функцию и построить график y=-x^4+4x+3

1) Функция определена на всей числовой прямой х∈R

2) Проверим четность
$y(-x) = -(-x)^4+4(-x)+3 = -x^4 - 4x +3$

Так как $y(-x) \neq -y(x)$ и $y(-x) \neq y(x)$
то функция не является четно и нечетной. Функция общего вида.

3) Точки пересечения с осью Оу: х = 0

$y = -0^4+4*0+3 = 3$

т.е. точка А(0; 3)

4) Найдем производную
$y' = (-x^4+4x+3)' = -4x^3+4$

5) Найдем точке экстремума y' = 0
$-4x^3+4 = 0 \\ \\ x^3 = 1 \\ \\ x= 1$
Получилась одна критическая точка

6) Найдем значение производной слева и справа от 1
$y'(0) = -4*0^3+4 = 4 \ ; \ y'(0) \ \textgreater \ 0$
до х=1 функция возрастает

$y'(2) = -4*2^3+4 = -28 \ ; \ y'(0) \ \textless \ 0$
после х=1 функция убывает

Производная меняет знак с "+" на "-" - значит х=1 точка максимума

7) Построим график функции. Данные для построение и сам график, представлены ниже