Происходил из малороссийского казацкого рода Кочубеев. Родился в Полтавской губернии, в родовой усадьбеДиканька, в семье Павла Васильевича Кочубея (1738—1786) и Ульяны Андреевны, урожд. Безбородко (1742—1777). Правнук генерального писаря Василия Леонтьевича Кочубея, казнённого в 1708 году по обвинению в ложном доносе на гетмана Мазепу в стремлении к измене.
Павел Васильевич Кочубей, занимавший место главы в подкоморном полтавском суде, дал своим сыновьям античные имена Аполлона и Виктора. Заботу об их воспитании и образовании принял на себя их бездетный дядяАлександр Андреевич Безбородко, фактически руководивший в то время внешней политикой России. В 1775 году он пригласил племянников к себе в Петербург.
Виктор Павлович учился в частном пансионе де Вильнева, одновременно в 1776 году был записан на службу вПреображенский лейб-гвардии полк. Безбородко предназначал племяннику дипломатическую карьеру. Для окончания образования был послан в Женеву, где находился под присмотром Италинского.