1. Работал он не покладая рук. здесь не пишется раздельно, так как 'не' с деепричастиями всегда пишется раздельно.
2. Артём расстроился, не решив задачу на олимпиаде. здесь 'не' пишется раздельно, так как 'не' с деепричастиями всегда пишется раздельно.
3. Не обдумавши, и птичка не полетит. здесь 'не' пишется раздельно, так как 'не' с деепричастиями всегда пишется раздельно.