Найти производную по определению 2 x^3 + 3 x^2 - 2 sqrt(x) + 3

Question 1

Question 2

Производная функции есть предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, при условии стремления приращения аргумента к нулю:
$y'=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$

Отдельно выпишем и преобразуем значение $\Delta y$ :
$\Delta y =\left(2(x+\Delta x)^3+3(x+\Delta x)^2-2 \sqrt{x+\Delta x}+3 \right)- \\\ { } \ \ -\left(2x^3+3x^2-2 \sqrt{x}+3 \right)= \\\ =2x^3+6x^2\Delta x+6x(\Delta x)^2+2(\Delta x)^3+3x^2+6x\Delta x+3(\Delta x)^2- \\\ { } \ \ -2 \sqrt{x+\Delta x}+3- 2x^3-3x^2+2 \sqrt{x}-3= \\\ =6x^2\Delta x+6x(\Delta x)^2+2(\Delta x)^3+6x\Delta x+3(\Delta x)^2- \\\ { } \ \ -2 \sqrt{x+\Delta x}+2 \sqrt{x}= \\\ =\Delta x\left(6x^2+6x\Delta x+2(\Delta x)^2+6x+3\Delta x\right)- \\\ { } \ \ -2( \sqrt{x+\Delta x}- \sqrt{x})=$
$=\Delta x\left(6x^2+6x\Delta x+2(\Delta x)^2+6x+3\Delta x\right)- \\\ { } \ \ -2 \dfrac{( \sqrt{x+\Delta x}- \sqrt{x})( \sqrt{x+\Delta x}+ \sqrt{x})}{ \sqrt{x+\Delta x}+ \sqrt{x}} = \\\ =\Delta x\left(6x^2+6x\Delta x+2(\Delta x)^2+6x+3\Delta x\right)-2 \dfrac{( \sqrt{x+\Delta x})^2- (\sqrt{x})^2}{ \sqrt{x+\Delta x}+ \sqrt{x}} = \\\ =\Delta x\left(6x^2+6x\Delta x+2(\Delta x)^2+6x+3\Delta x\right)-2 \dfrac{ x+\Delta x- x}{ \sqrt{x+\Delta x}+ \sqrt{x}} =$
$=\Delta x\left(6x^2+6x\Delta x+2(\Delta x)^2+6x+3\Delta x\right)-2 \dfrac{ \Delta x}{ \sqrt{x+\Delta x}+ \sqrt{x}} = \\\ =\Delta x\left(6x^2+6x\Delta x+2(\Delta x)^2+6x+3\Delta x- \dfrac{ 2}{ \sqrt{x+\Delta x}+ \sqrt{x}} \right)$

Подставляем найденное значение в формулу для $y'$ :
$y'= \\\ =\lim\limits_{\Delta x\to 0} \dfrac{\Delta x\left(6x^2+6x\Delta x+2(\Delta x)^2+6x+3\Delta x- \dfrac{ 2}{ \sqrt{x+\Delta x}+ \sqrt{x}} \right)}{\Delta x}= \\\ =\lim\limits_{\Delta x\to 0} \left(6x^2+6x\Delta x+2(\Delta x)^2+6x+3\Delta x- \dfrac{ 2}{ \sqrt{x+\Delta x}+ \sqrt{x}} \right)= \\\ =6x^2+6x\cdot0+2\cdot 0^2+6x+3\cdot0- \dfrac{ 2}{ \sqrt{x+0}+ \sqrt{x}} = \\\ =6x^2+6x- \dfrac{ 2}{ \sqrt{x}+ \sqrt{x}} =6x^2+6x- \dfrac{ 2}{2 \sqrt{x}} = \boxed{6x^2+6x- \dfrac{ 1}{ \sqrt{x}} }$

Ответ: $6x^2+6x- \dfrac{ 1}{ \sqrt{x}}$

Question 3

а вы здесь использовали встроенный латекс редактор?