1-cos4x=1-(1-2si2xsin2x)=2(sin2x)^2.
Получим предел lim (2(sin2x)^2/x^2). Имеем неопределенность вида (0/0). Но можно привести предел к первому замечательному пределу (lim sinx/x=1 при х->0).
Умножим и разделим (чтобы ничего не изменилось) дробь на 4. Получим lim (2sin2xsin2x·4/(4x^2))=lim (8·(sin2x/2x)·(sin2x/2x))=8·1·1=8.