Обозначим:
- боковое ребро L = √10,
- угол наклона боковой грани α = 30°,
- высота пирамиды Н,
- высота основания h,
- апофема А,
- сторона основания а.
В правильной пирамиде вершина проецируется на основание в точку О - точку пересечения медиан (они же и высоты и биссектрисы).
Проекция апофемы на основание равна отрезку высоты (1/3)h - пусть это будет х.
Тогда высота пирамиды Н = х*tg α = х*(1/√3) = х/√3.
Второй отрезок высоты h равен 2х (по свойству равностороннего треугольника). А по Пифагору Н = √(L² - (2х)²) = √(10 - 4х²).
Приравняем: х/√3 = √(10 - 4х²).
Возведём обе части в квадрат: х²/3 = 10 - 4х².
Приведём к общему знаменателю: х² = 30 - 12х² или 13х² = 30.
Отсюда х = √(30/13) ≈ 1,519109.
Вся высота h равна 3х = 3√30/√13 ≈ 4,557327.
По свойству равностороннего треугольника сторона а = h/(cos 30°).
Получаем ответ: а = (3√30/√13)/(√3/2) = 6√10/√13 ≈ 5,262348.
