1) Обозначим треугольник АБС, угол А=90градусов, АС=6, БС=9. Из вершины прямого угла А опустим высоту АК на гипотенузу. Пусть АК=х, тогда КС=9-х. Так как треугольник прямоугольный, то AC^2=KC*CБ; 36=(9-х)х; 36=81-9х; 9х=45; х=5(БК), КС=9-5=4, АК^2=AC^2-KC^2; AK^2=20; AK=2sqrt5
2)Пусть стороны треугольника равны a,b,c, где а и b-катеты,а с-гипотенуза.По теореме Пифагора c^2=a^2+b^2; 37^2=35^2+b^2
1369=1225+b^2; b^2=1369-1225; b^2=144; b=12
S=1/2a*b; S=1/212*35=210 см^2
3)Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся попалам. Пусть сторона ромба будет а,(d1=4см,d2=20см)-диагонали ромба,тогда d1/2=2,d2/2=10. Половины диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник. Половины диагоналей будут являться катетами,а сторона ромба гипотенузой. По теореме Пифагора найдем гипотенузу,т.е. сторону ромба a^2=(d1/2)^2+(d2/2)^2; a^2=4+100=sqrt104
4) Пусть дана трапеция АВСD.Из вершины на сторону АD отпустим высоту ВК. Так как трапеция равнобедренная, то АК=(AD-BC)/2=6. Треугольник АВК-прямоугольный. Найдем ВК. ВК^2=AB^2-AK^2; BK^2=136-36; BK=10. Найдем теперь диагональ BD. BD образует со сторонами ВК и КD прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора BD^2=BK^2+KD^2; BD^2=100+576=sqrt676; BD=26
5)Введем переменную. Пусть 1 часть х, тогда 10 частей 10х,а 17частей 17х. 100x^2-144=289x^2-900; 189x^2=756; x^2=4;x=2(1 часть), 10*2=20(одна наклонная), 17*2=34(вторая наклонная)
6) Пусть данна трапеция АБСД и диагонали БД и АС. БД перпендикулярна стороне АБ, а АС перпен стороне СД. Из вершины Б отпустим отрезок БК перпендикулярный стороне АД. Так как трапеция равнобедренная,то БК=(БС+АД)/2=9 Применим среднее геометрическое
ВК=sqrt AK*KД=12. Треугольник АБК -прямоугольный. По теореме Пифагора найдем АБ. АБ^2=АК^2+БК^2; АБ^2=81+144=225 ;АБ=15