Помогите решить подробно умоляю. Найти экстремумы функции.

Question 1

Question 2

Найдем частные производные функции:

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (3x^3+3y^3-9xy+10)=9x^2-9y\\ \\ \\ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^3+3y^3-9xy+10)=9y^2-9x$

Решив систему уравнений $\displaystyle \left \{ {{9x^2-9y=0} \atop {9y^2-9x=0}} \right.$ получим $\displaystyle \left \{ {{x_1=0;~~~~ x_2=1} \atop {y_1=0;~~~~ y_2=1}} \right.$

Найдем теперь частные производные второго порядка.
$\displaystyle \frac{\partial ^2z}{\partial x^2}= \frac{\partial}{\partial x} (9x^2-9y)=18x;\\ \\ \frac{\partial ^2z}{\partial y^2}= \frac{\partial}{\partial x} (9y^2-9x)=18y;~~~~~~~~~ \frac{\partial^2 z}{\partial xy=} =-9$

Составим матрицу: $\left(\begin{array}{ccc}18x& -9\\ -9&18y\end{array}\right)$

Подставляя критические точки(для каждых).

M(0;0), получим матрицу $\left(\begin{array}{ccc}0& -9\\ -9&0\end{array}\right)$

$a_{11}=0\\ a_{22}= \left|\begin{array}{ccc}0& -9\\ -9&0\end{array}\right|=0\cdot0-9\cdot9\ \textless \ 0$

Поскольку $a_{22}\ \textless \ 0$ , то экстремума в этом точки нет

Теперь для точки А(1;1), имеется матрица $\left(\begin{array}{ccc}18& -9\\ -9&18\end{array}\right)$

$a_{11}=18\ \textgreater \ 0\\ \\ a_{22}= \left|\begin{array}{ccc}18& -9\\ -9&18\end{array}\right|=18^2-9^2=(18-9)(18+9)=243\ \textgreater \ 0$

Поскольку $a_{11}\ \textgreater \ 0,~~ a_{22}\ \textgreater \ 0$ , то точка А(1;1) - минимум

Question 3

спасибо

LecToRJkeeeee_zn · Answer 1 · 2018-05-29T00:58:44+0000

Найдем частные производные функции:

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (3x^3+3y^3-9xy+10)=9x^2-9y\\ \\ \\ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^3+3y^3-9xy+10)=9y^2-9x$

Решив систему уравнений $\displaystyle \left \{ {{9x^2-9y=0} \atop {9y^2-9x=0}} \right.$ получим $\displaystyle \left \{ {{x_1=0;~~~~ x_2=1} \atop {y_1=0;~~~~ y_2=1}} \right.$

Найдем теперь частные производные второго порядка.
$\displaystyle \frac{\partial ^2z}{\partial x^2}= \frac{\partial}{\partial x} (9x^2-9y)=18x;\\ \\ \frac{\partial ^2z}{\partial y^2}= \frac{\partial}{\partial x} (9y^2-9x)=18y;~~~~~~~~~ \frac{\partial^2 z}{\partial xy=} =-9$

Составим матрицу: $\left(\begin{array}{ccc}18x& -9\\ -9&18y\end{array}\right)$

Подставляя критические точки(для каждых).

M(0;0), получим матрицу $\left(\begin{array}{ccc}0& -9\\ -9&0\end{array}\right)$

$a_{11}=0\\ a_{22}= \left|\begin{array}{ccc}0& -9\\ -9&0\end{array}\right|=0\cdot0-9\cdot9\ \textless \ 0$

Поскольку $a_{22}\ \textless \ 0$ , то экстремума в этом точки нет

Теперь для точки А(1;1), имеется матрица $\left(\begin{array}{ccc}18& -9\\ -9&18\end{array}\right)$

$a_{11}=18\ \textgreater \ 0\\ \\ a_{22}= \left|\begin{array}{ccc}18& -9\\ -9&18\end{array}\right|=18^2-9^2=(18-9)(18+9)=243\ \textgreater \ 0$

Поскольку $a_{11}\ \textgreater \ 0,~~ a_{22}\ \textgreater \ 0$ , то точка А(1;1) - минимум