В заданных уравнениях выделим полные квадраты.
{(x-5)² + (y-5)² = 22 - 4√10
{(x-3)² + (y-1)² = 2.
Получили уравнения двух окружностей с центрами О1(5; 5) и О2(3; 1).
Радиусы равны R1 = √(22-4√10) ≈
3,057922, R2 = √2 ≈ 1,414214.
Сумма радиусов равна 3,057922 + 1,414214 =
4,472136.
Находим расстояние между центрами окружностей.
О1О2 = √((5-3)² + (5-1)²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5 ≈ 4,472136.
Как видим, сумма радиусов равна расстоянию между центрами.
Значим, окружности касаются в одной точке.
Координаты точки касания окружностей можно получить решением системы уравнений этих окружностей.
Сначала вычитаем из первого уравнения второе.
Получим уравнение прямой 40 - 4х -8у = 20 - 4√10 или
х + 2у - 5 - √10 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через центры окружностей имеет вид:
(х - 3)/2 = (у - 1)/4 или у = 2х - 5.
Решаем систему из этих двух уравнений и получаем координаты точки касания окружностей, которые являются решением заданной системы.
х = 3 + (√10/5),, у = 1 + (2√10/5).