Найти проекцию точки a(4 -3 1) на плоскость x+2y-z-1=0

Проекция точки А на данную поверхность - есть точка пересечения с данной плоскостью прямой, проходящей через точку А перпендикулярно к данной плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку А перпендикулярно к плоскости x+2y-z-1=0 имеет вид :

$\dfrac{x-4}{1} = \dfrac{y+3}{2} = \dfrac{z-1}{-1} =\lambda$

Или можно привести в параметрической форме:

$\begin{cases} & \text{ } x=\lambda+4 \\ & \text{ } y=2\lambda-3 \\ & \text{ } z=-\lambda+1 \end{cases}$

И подставим эти данные в уравнение плоскости

$\lambda+4+2\big(2\lambda-3\big)-\big(-\lambda+1\big)-1=0\\ \\ \lambda+4+4\lambda-6+\lambda-1-1=0\\ \\ 6\lambda=4\\ \\ \lambda= \dfrac{2}{3}$

Проекция точки А на плоскость имеет координаты: $\bigg( \dfrac{14}{3} ;- \dfrac{5}{3} ; \dfrac{1}{3} \bigg).$

Найти проекцию точки a(4 -3 1) ** плоскость x+2y-z-1=0