Помогите решить пожалуйста

Question

Дан 1 ответ

Minsk00_zn · Answer 1 · 2018-05-29T03:02:52+0000

На каких промежутках касательная к графику функции
                  $f(x)=log_{ \frac{1}{2} }(x^2-4)$
составляет с положительным направлением оси Ох острый угол.

Решение.
Область определения функции $f(x)=log_{ \frac{1}{2} }(x^2-4)$
x² - 4 > 0 ⇔ x² > 4
x∈(-∞;-2)U(2;+∞)
Острый угол - угол, градусная мера которого менее 90 градусов.
Величина угла касательной определяется производной функции. Величина которой(производной) равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох.
                                tgα = y'(x)
Так как угол 0 < α < 90° то tgα > 0.
Следовательно, что бы найти промежутки на которых угол касательной с положительным направлением оси Ох острый необходимо найти значения х при которых выполняется неравенство
                                 y'(x) > 0
Найдем производную функции
$f(x)'=(log_{ \frac{1}{2} }(x^2-4))' = \frac{1}{ln( \frac{1}{2} )\cdot(x^2-4)}\cdot(x^2-4)'= \frac{2x}{ln( \frac{1}{2} )\cdot(x^2-4)}=$ $\frac{2x}{ln(2)\cdot(4-x^2)}$
Подставим производную в наше неравенство
                       $\frac{2x}{ln( \frac{1}{2} )\cdot(x^2-4)}\ \textgreater \ 0$
                    $\frac{2x}{ln( \frac{1}{2} )\cdot(x-2)(x+2)}\ \textgreater \ 0$
                   $\frac{2x}{ln( 2 )\cdot(2-x)(2+x)}\ \textgreater \ 0$
Решим неравенство по методу интервалов
Найдем значения х в которых множители меняют свой знак
         x₁=0; x₂ = -2; x₃ =2
На числовой прямой отобразим эти точки и знаки левой части неравенства полученные по методу подстановки.
Например: при х = 1   2х/(ln(2)·(2-x)·(2+x)) = 2/(ln(2)·1·3) >0 и так далее.
     +            -    0     +        -
---------!-----------!---------!-----------
          -2           0          2
На числовой прямой положительны промежутки (-∞;-2) и [0;2),
но второй интервал [0;2) не входит в область определения функции поэтому его мы рассматривать не будем.

Следовательно угол касательной с положительным направлением оси Ох острый на промежутке (-∞;-2)

Ответ: (-∞;-2)