*5*.4. Ограниченность сходящихся последовательностей
Определение 5. Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество ее значений ограничено сверху (снизу).
Иначе говоря, числовая последовательность {xn} ограничена сверху (снизу), если существует такое число
c  R, что для всех номеров nвыполняется неравенство xn < c(соответственно неравенство xn > c).
Последовательность, ограниченная как сверху, так и снизу, называется ограниченной. Таким образом, числовая последовательность {xn} ограничена, если существуют такие числа a  R и b R, что для всех номеров n выполняется условие a < xn < b. Это условие, очевидно, равносильно тому, что существует такое число c > 0, что для всех номеров n имеет место неравенство
|xn| < c<br>
Последовательность, не являющаяся ограниченной сверху (снизу), называется неограниченной сверху(снизу), а последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченой. Примером неограниченных последовательностей являются бесконечно большие последовательности Следует заметить, однако, что не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Так, последовательность
xn = (-1)nn + n
неограниченная, но не бесконечно большая.
Теорема. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Пусть последовательность xn  R, n = 1, 2, ..., имеет конечный предел = a  R. Тогда согласно определению предела последовательности взяв  = 1, получим, что существует такой номер n1, что для всех номеров n > n1 будет выполняться неравентсво
|xn - a| < 1
(5.29)
(в определении предела последовательности можно взять любое  > 0; мы взяли  = 1; рис. 51). Обозначим через d наибольшее из чисел 1, |x1 - a|, ..., . Тогда, очевидно, в силу условия (5.29) для всех
n  N будет иметь место неравенство
|xn - a| < d,<br>
Это и означает, что последовательность {xn} ограничена.