НАйти точку В*, симметричную точке В (-3;-1;5) относительно плоскости -6x -7y + z+2=0

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Из условия видим, что направляющий вектор плоскости равен $\overline{q}\{-6;-7;1\}.$
$\dfrac{x+3}{-6}= \dfrac{y+1}{-7}= \dfrac{z-5}{1}$ (*)

Найдем точку пересечения прямой (*) и заданной плоскости. Для этого введём параметр $\lambda$ в уравнении (*)

$\dfrac{x+3}{-6}= \dfrac{y+1}{-7}= \dfrac{z-5}{1}=\lambda$

Или эту прямую можно переписать в параметрической форме :
$\dispalystyle \begin{cases} & \text{ } x=-6\lambda-3 \\ & \text{ } y=-7\lambda-1 \\ & \text{ } z=\lambda+5 \end{cases}$

И подставим эти данные в заданное уравнение плоскости, получим уравнение относительно $\lambda$ .
$-6\cdot(-6\lambda-3)-7\cdot(-7\lambda-1)+\lambda+5+2=0\\ 36\lambda+18+49\lambda+7+\lambda+7=0\\ 86\lambda=-32\\ \lambda=- \frac{16}{43}$

И так имеем точку пересечения прямой и плоскости:
$\dispalystyle \begin{cases} & \text{ } x=-6\cdot(-\frac{16}{43})-3 \\ & \text{ } y=-7\cdot(-\frac{16}{43})-1 \\ & \text{ } z=-\frac{16}{43}+5 \end{cases}~~~~~\Rightarrow~~~~~~ \dispalystyle \begin{cases} & \text{ } x=-\frac{33}{43} \\ & \text{ } y=\frac{69}{43} \\ & \text{ } z=\frac{199}{43} \end{cases}$

Назовём эту точку пересечения - N и эта точка является серединой отрезка $BB^*$ . Следовательно,

$x_{N}= \dfrac{x_B+x_{B^*}}{2} ;~~~~~-\dfrac{33}{43}=\displaystyle \frac{-3+x_{B^*}}{2} ;~~~~~ x_{B^*}=\frac{63}{43}\\ \\ \\ y_{N}= \dfrac{y_B+y_{B^*}}{2} ;~~~~~~~~~\frac{69}{43}=\displaystyle \frac{-1+y_{B^*}}{2} ;~~~~~ y_{B^*}=-\frac{95}{43}\\ \\ z_{N}= \dfrac{z_B+z_{B^*}}{2} ;~~~~~~~~\frac{199}{43}=\displaystyle \frac{5+z_{B^*}}{2} ;~~~~~ z_{B^*}=\frac{183}{43}$

ОТВЕТ: $B^*\bigg(\displaystyle \frac{63}{43};-\frac{95}{43};\frac{183}{43}\bigg).$

LecToRJkeeeee_zn (51.5k баллов) 29 Май, 18