Проверить является ли функция y=(Cx-1)x решением дифференциального уравнения y'= x + 2y/x
Решение:
Проверку можно сделать подстановкой функции в дифференциальное уравнение первого порядка.
Вначале найдем производную функции
y'=((Cx-1)x)'=(Cx-1)'x + (Cx-1)x'= Cx + Cx - 1 =2Cx - 1
Заново запишем дифференциальное уравнение
y' = x + 2y/x
2Сх - 1 = х + 2(Сх -1)х/x
2Сх - 1 = х + 2(Сх - 1)
2Cx - 1 = x + 2Cx - 2
2Cx - 1 = 2Cx - 2 + x
Видно что для любого значения константы С уравнение верно только для х =1. Поэтому функция y=(Cx-1)x не является решением дифференциального уравнения первого порядка y' = x + 2y/x
Решением данного уравнения является функция y =x²(C + ln(x))
Ответ: Нет
Если дифференциальное уравнение записано в виде y' = (x + 2y)/x
то при подстановке функции y=(Cx-1)x в правую часть уравнения получим
(x + 2y)/x = (x + 2(Cx-1)x)/x =1 + 2(Cx-1) = 1 + 2Cx - 2 = 2Cx - 1.
Получили верное равенство
y' = (x + 2y)/x
2Сx - 1 = 2Cx - 1
Поэтому функция y=(Cx-1)x является решением дифференциального уравнения y' = (x + 2y)/x.