(1/x) + (1/y) = 1/2017,
(y+x)/(xy) = 1/2017,
x и y натуральные,
2017*(x+y) = xy,
x*y - 2017*(x+y) = 0;
x*y - 2017x - 2017y = 0;
добавим к обеим частям уравнения (2017*2017),
x*y - 2017x - 2017y + 2017*2017 = 2017*2017,
(x - 2017)*(y - 2017) = 2017*2017,
если x и y - натуральные, то (x-2017) и (y-2017) - целые.
Найдем делители у 2017. Если у натурального числа n есть простые делители, то один из них содержится среди натуральных чисел
от 1 до (√n).
√(2017) ≈ 44,9
Нужно перебрать все простые числа от 2 до 44 (проверяя делится ли 2017 на это простое число нацело). Убеждаемся, что таких делителей у 2017 нет. Это значит, что 2017 - простое число.
Поэтому число (2017*2017) с учетом порядка можно разложить на целые множители только следующими способами:
2017*2017 = 1*2017² = 2017²*1 = 2017*2017 =
= (-1)*(-2017²) = (-2017²)*(-1) = (-2017)*(-2017)
То есть шесть случаев.
1) x- 2017 = 1 и y-2017 = 2017²
x = 1+2017 = 2018, и y = 2017² + 2017 = 4070306.
2) x - 2017 = 2017² и y-2017 = 1;
x = 2017² + 2017 = 4070306 и y = 1+2017 = 2018.
3) x - 2017 = 2017 и y-2017 = 2017,
x = 2017+2017 = 4034 и y = 2017+2017 = 4034.
4) x - 2017 = -1 и y-2017 = -2017², но отсюда видно, что
y = 2017 - 2017² < 0 и поэтому y не является натуральным в этом случае и поэтому случай 4) не годится.
5) в этом случае x будет ненатуральным и этот случай тоже не годится.
6) x - 2017 = -2017 и y - 2017 = -2017,
x = 0 и y = 0. Оба не натуральные и поэтому этот случай не годится.
Ответ. {(x;y): (2018; 4070306), (4070306; 2018), (4034; 4034)}.