Допустим, что для чисел a и b НОД(a,b) = n
Тогда
a = x*n
b = y*n
x и y-это некоторый множитель, при умножении которого на НОД получается само число.
Подставим эти значения в НОД, получится НОД(x*n,x*n-y*n) или НОД(x*n,n*(x-y)), если мы вынесем общий множитель за скобку.
Нетрудно заметить, что числа a и b имеют одинаковый множитель n значит они оба делятся на n (n - этоНОД(a,b) ).
ЧТД