1)чтобы функция оказалась первообразной для данной, надо, чтобы её производная была = данной. Так что ищем производную и сравниваем с данной.
y' = -24x⁷ + 2/Cos²x -1/2√-x + 5/x - равна данной ? доказано.
2)F(x) = -2Sinx -5/2 Cos2x + C
5/2 = -2Sinπ/2 -5/2*Cos2*π/2 + C
5/2 = -2 -5/2*(-1) +C
C = 2
Ответ:F(x) = -2Sinx -5/2 Cos2x + 2
3) а) ₁³∫ 6х²dx = 6x³/3 | в пределах от 1 до 3= 2х³| в пределах от 1 до 3=
=54 - 2 = 52
б) ∫ 4Сos2xdx = 1/2*Sin2x| в пределах от π/4 до π/2 =
= 1/2*Sinπ - 1/2*Sinπ/2 = -1/2
4) ищем пределы интегрирования:
-х² +3х +4 = х +1
х² -2х -3 = 0
по т. Виета корни -1 и 3
₋₁³∫ (-х² +3х +4)dx = -x³/3 +3x²/2 +4x | в пределах от -1 до 3 =
-9 +27/2 +12 -(1/3 +3/2 -4) =16,5 +2 1/6 =18 2/3
₋₁³∫ (х +1)dx = x²/2 + x| в пределах от -1 до 3 = 9/2 +3 -(1/2 -1) =
=4,5 +3 +0,5 = 9
S фиг. = 18 2/3 - 9 = 9 2/3