Найти сумму первых девяти членов арифметической прогрессии(хn), если x3=20, x5=-40.

Между $a_3$ и $a_5$ два члена, поэтому вычисляем разницу между этими членами ( $a_5-a_3$ ) и делим на 2 (потому что какое-то число прибавлялось в два етапа: от $a_3$ к $a_4$ и от $a_4$ к $a_5$ ):
$a_5-a_3=-40-20=-60; \\ \frac{-60}{2}=-30$ - это разность данной арифметической прогрессии.

Проверим:
$a_4=a_3+d=20+(-30)=-10; \\ a_5=a_4+d=-10-30=-40$ - совпадает с данными.

Найдём $a_1$ :
[Между $a_3$ и $a_1$ тоже два этапа, поэтому d нужно отнять два раза от $a_3$ ]
$a_1=a_3-2d=20-2*(-30)=20+60=80.$

Можем тоже проверить(проверять это необязательно, если хорошо знаешь формулы и уверен в результате):
$a_2=a_1+d=80-30=50; \\ a_3=a_1+2d=80+2*(-30)=80-60=20; \\ (a_3=a_2+d=50-30=20)$ - данные совпадают.

Найдём $a_9$ :
$a_9=a_1+8d=80+8*(-30)=-160.$

Теперь найдём непосредственно сумму членов от 1 к 9:
$S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2}$ , где n - член к которому нужно считать (здесь 9).
$S_9= \frac{(80+(-160))*9}{2}=-360.$

Ответ: сумма первых девяти членов арифметической прогресии равна -360.