Sinx+cosx=1/sinx скажите решение, пожалуйста

$sinx+cosx= \dfrac{1}{sinx}$

ОДЗ:
$sinx \neq 0 \\ x \neq \pi k$

$sin^2x+sinxcosx=1 \\ 1-cos^2x+sinxcosx=1 \\ cosx(cosx-sinx)=0 \\ \\ cosx=0 \\ x= \dfrac{\pi}{2}+\pi k \\ \\ cosx-sinx=0 \\ ctgx=1 \\ x= \dfrac{ \pi }{4}+ \pi k$

Ответ: $\left[\begin{array}{I} x= \dfrac{\pi}{2}+\pi k \\ x= \dfrac{ \pi }{4}+ \pi k \end{array}};\ k \in Z$