Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4x-x (в квадрате), y = 4-x.

Считаем площадь фигуры между двумя графиками по формуле

$S= \int\limits^a_b {((f(x)-g(x))} \, dx$ ,
где f(x)- кривая, график, которой расположен выше кривой у=g(x);
a и b - абсциссы точек пересечения графиков; a
Строим графики функций ( см. рис. в приложении):
у=4х-х²- парабола, ветви которой направлены вверх, точки пересечения с осью Ох:
х=0; х=4
Координаты вершины (2;4).
у=4-х - прямая, проходящая через точки (0;4) и (4;0).

Находим абсциссы точек пересечения графиков функций:
4х-х²=4-х;
х²-5х+4=0
D=25-4·4=9
x=(5-3)/2=1 или х=(5+3)/2=4

$S= \int\limits^4_1 {((4x- x^{2})-(4-x))} \, dx= \\ \\ =\int\limits^4_1 {(4x- x^{2}-4+x)} \, dx= \\ \\ = \int\limits^4_1 {(5x- x^{2}-4)} \, dx= \\ \\ =( 5\cdot \frac{ x^{2} }{2} - \frac{x^3}{3}-4x)| ^4_1= ( 5\cdot \frac{ 4^{2} }{2} - \frac{4^3}{3}-4\cdot 4)-( 5\cdot \frac{ 1^{2} }{2} - \frac{1^3}{3}-4)=$

$40 - \frac{64}{3}-16- \frac{5}{2} + \frac{1}{3}+4=4,5$
кв. ед.

О т в е т. S=4,5 кв. ед.