№1.
а) 3/(x+2) + 3/x = 4 | *x(x+2)
знаменатели не должны быть равны 0:
х+2≠0 ; х≠-2
х≠0
3x + 3(x+2) = 4×x(x+2)
3x+3x+6 = 4x²+8x
6x+6= 4x²+8x
4x² +8x -6x - 6 = 0
4x² +2x - 6 = 0
2(2x²+x-3)=0 | :2
2x²+x-3=0
D= 1² - 4*2*(-3) = 1 + 24 = 25 = 5²
D>0 - два корня уравнения
х₁= (-1 - 5)/(2*2) = - 6/4 = - 3/2 = -1,5
х₂ = (-1 +5) / (2*2) = 4/4 = 1
проверим:
3/(-1,5 + 2) + 3/(-1,5) = 3/0,5 + (-2) = 6 -2 = 4
3/(1+2) + 3/1 = 3/3 + 3 = 1 + 3 = 4
Ответ: (-1,5 ; 1) .
б)1/(х+4) - 8/(х²-16) = (х-5)/(х-4)
1/(х+4) - 8/(х-4)(х+4) = (х-5)/(х-4) | *(x-4)(x+4)
x-4≠0 ; х≠ 4
х+4≠0; х≠ -4
1*(х-4) - 8 = (х-5)(х+4)
х-4 - 8 = х² +4х - 5х - 20
х - 12 = х² -х - 20
х² -х - 20 -х +12 =0
х² -2х -8=0
D= (-2)² - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36 = 6²
D>0 -два корня уравнения
x₁=( - (-2) - 6)/(2*1) = (2-6)/2 = -4/2 = -2
х₂= ( 2 + 6)/2 = 8/2 = 4 не удовл. (т.к. х≠4)
проверим:
1/(-2 +4) - 8/((-2)² -16) = (-2-5)/(-2-4)
1/2 - 8/(-12) = -7/(-6)
1/2 + 2/3 = 7/6
3/6 + 4/6 = 7/6
7/6 = 7/6
Ответ: - 2.
№2.
9х⁴-10х² +1=0
х²=n
9n² -10n +1 =0
D= (-10)² - 4*9*1 = 100 - 36 = 64 = 8²
D>0 - два корня уравнения
n₁= (-(-10) - 8)/(2*9) = 2/18 = 1/9
n₂= (10+8)/18 = 18/18 = 1
x²= 1/9
х₁= √(1/9)
х₁= 1/3
х₂= - √(1/9)
х₂= -1/3
х²= 1
х₃= 1
х₄= -1
проверим:
9 * (1/3)⁴ - 10*(1/3)² + 1 = 1/9 - 10/9 +1 = -9/9 + 1 = -1+1=0
9*(-1/3)⁴ -10/(-1/3)² +1=1/9 - 10/9 + 1 = - 1+ 1=0
9*1⁴ - 10*1² + 1 = 9-10 + 1 = -1 + 1 =0
9 * (-1)⁴ - 10*(-1)² + 1 = 9 - 10 + 1 = -1+1=0
б) (х²+4х -4)(х²+4х+1)=6
х²+4х=n
(n-4)(n+1) = 6
n²+n-4n-4=6
n²-3n-4-6=0
n² -3n -10=0
D=(-3)² - 4*1*(-10) = 9 + 40 = 49 = 7²
D>0 - два корня
n₁= (-(-3) -7)/(2*1) = -4/2=-2
n₂= (3+7)/2 = 10/2 =5
x²+4x=-2
x² +4x+2=0
D= 4² - 4*1*2 = 16 - 8 = 8 = (√2*2²)² = (2√2)²
D> 0 - два корня уравнения
x₁ = (-4 -2√2)/(2*1) = (-4 -2√2)/2 =-2-√2= -(2+√2)
x₂ = (-4+2√2)/2 = 2(-2+√2)/2 = - 2 +√2
x²+4x=5
x²+4x - 5 =0
D=4² -4*1*(-5) = 16+20 = 36=6²
D>0 - два корня уравнения
х₃= (-4 - 6)/(2*1) = -10/2 = - 5
х₄ = (-4+6)/2 = 2/2 = 1
Проверим:
((-(2+√2))² + 4*(-(2+√2)) -4)( (-(2+√2))² + 4*(-(2+√2)) +1) =
= ( 2² +2*2*√2 +(√2)² - 8 -4√2 - 4) ( 2² + 2*2*√2 + (√2)² -8 -4√2+1)=
= (4 +4√2 + 2 - 8 - 4√2 - 4)(4 + 4√2 + 2 - 8 - 4√2 + 1) = - 6 * (-1) = 6
( (-2+√2)² + 4*(-2+√2) - 4)*((-2+√2)² + 4(-2+√2) + 1) =
= ( (√2 - 2)² - 8 + 4√2 - 4) * ( (√2 - 2)² - 8 +4√2 + 1) =
= ( 2 - 4√2 + 4 - 12 + 4√2)(2 - 4√2 + 4 -7 + 4√2)= -6 * (-1) = 6
( (-5)² + 4*(-5) - 4) * ( (-5)² + 4*(-5) +1) =(25 - 20 - 4)(25 - 20 +1)= 1*6 =6
(1² + 4*1 -4)( 1² + 4*1 +1) = (1 +4 -4)(1 +4+1) = 1 * 6 = 6