ПОМОГИТЕ ПЖ . Высота CD и бисектрисса BN треугольника ABC пересекаются в точке M....

Question

ПОМОГИТЕ ПЖ .
Высота CD и бисектрисса BN треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно,что CM=CN.Найдите угол ACB.
Помогите,пожалуйста

Answer 1

СD - высота. ⇒ CD⊥AB. 

Рассмотрим прямоугольный ∆ DВМ. 

Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°. ⇒∠DВМ+∠DМВ=90°

В равнобедренном ∆ NMC (дано) углы при основании МN равны.  Они равны углу ДМВ (вертикальные)

В ∆ NCB ∠NBC=∠CBN (BN- биссектриса), ∠ВNC=∠NMC=∠BMD, т.е. два  угла ∆ NCB равны острым углам прямоугольного ∆ ВDM, значит, их сумма равна 90°. ⇒ в ∆ BCN  из суммы углов треугольника: 

∠С=180°-90°=90°

Answer 2

Пусть x - ∠ABN
В ΔDBM - ∠DMB = 180-90-x = 90-x
∠DMB = ∠NMC (вертикальные)
ΔNMC - равнобедренный - значит ∠NMC = ∠CNM
Выразим угол ∠MCN = 180 - 2*(90-x) = 2x

Рассмотри ΔMBC - ∠BMC = 90+x, ∠MBC = x (так как биссектриса).
Отсюда ∠BCM = 180 - x - (90+x) = 90-2x
∠ACB = ∠BCM +  ∠MCN = 2x + 90 - 2x = 90
Ответ: ∠ACB = 90

Comments

Спасибо большое.Очень помогли.