Острые углы прямоугольного треугольника равны 53° и 37° . Найдите угол между высотой и...

Question

Острые углы прямоугольного треугольника равны 53° и 37° . Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градуса

Answer 1

Дано: Δ АВС - прямоугольный, ∠С=90°, ∠А=53°, ∠С=37°, СН - высота, СМ - медиана.
Найти ∠МСН.

Решение: Δ СМВ - равнобедренный, СМ=МВ, т.к. медиана, проведенная к гипотенузе, делит ее пополам. Значит, ∠МСВ=∠В=37°.
Тогда ∠СМВ=180-37-37=106°
∠СМН=180-106=74°
∠МСН=90-74=16°
Ответ: 16°

Answer 2

Угол α между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен разности острых углов треугольника.
α = 53°- 37° = 16°.

Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных треугольника между собой и подобных данному. Из подобия треугольников АВС и НСВ следует: ∠В = ∠НСА.

 Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузе. Значит треугольник МАС – равнобедренный.
Отсюда следует ∠АСМ = ∠А, ∠АСН = ∠В.
 α = ∠В - ∠А.