Рассмотрим, какие могут быть остатки при делении p, q на 3.
остаток p отстаток q остаток p + q остаток (p – q)³0000•0111•0–1–111011•11–101–10–1–10–1–1•–110–1–1–110
(Отмеченные • строки содержат случаи одинаковых остатков p + q и (p – q)³.)
Мораль: если p + q = (p – q)³, то либо p = 3, либо q = 3.
Если p = 3, то 3 + q = (3 – q)³. При q = 2 равенство не выполняется, при q ≥ 3 слева положительное, справа — нет.
Если q = 3, то p + 3 = (p – 3)³. Раскроем скобки:
p + 3 = p³ – 9² + 27p – 27,
p³ – 9p² + 26p – 30 = 0.
Один корень «очевиден»: p = 5.
p³ – 9p² + 26p – 30 = (p – 5)(p² – 4p + 6).
Уравнение p² – 4p + 6 = 0 целых корней (впрочем как и вообще действительных) не имеет.