Докажите что число 3+3^2+...+3^120 делится ** 5

0 голосов
31 просмотров

Докажите что число 3+3^2+...+3^120 делится на 5


Алгебра (38 баллов) | 31 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Решите задачу:

\sum\limits_{i = 1}^{120} 3^i = 3 + 3^2 + ... + 3^{120} =\\\\ =3 + 3^3 + 3^2 + 3^4 +... + 3^{117} + 3^{119} + 3^{118} + 3^{120} =\\\\ =\sum\limits_{i = 1}^{30} (3^{4i-1} + 3^{4i-3} + 3^{4i-2} + 3^{4i})= \\\\ = \sum\limits_{i = 1}^{30} (3^{4i-1}*(1 + 3^2) + 3^{4i-2}*(1 + 3^2)) =

= \sum\limits_{i = 1}^{30} ((3^{4i-1} + 3^{4i-2})*(1 + 3^2)) =\\\\=(1 + 3^2)*\sum\limits_{i = 1}^{30} (3^{4i-1} + 3^{4i-2}) = 10*\sum\limits_{i = 1}^{30} (3^{4i-1} + 3^{4i-2}) =\\\\ = 5*(2*\sum\limits_{i = 1}^{30}(3^{4i-1} + 3^{4i-2}))









(8.8k баллов)
0

Мы разбили исходную последовательность на пары определенного вида (какого, видно из второй и третьей строки решения). После, вынесли из каждой пары одинаковый множитель, который, очень кстати, делится на пять.

0

Хотя, на самом деле, делили мы на четверки.

0

круто

0

Если бы это можно было записать коротко (и понятно) без использования знаков суммы, я бы и не использовал их для записи решения. Но, к сожалению, запись без использования этих знаков была чрезвычайно растянутой, и, более того, не настолько же строгой в математическом отношении.