Сколько существует целых значений a, для которых неравенство имеет хотя бы одно решение.

$x^2 + 4x + | \frac{a}{2}-2| \ \textless \ 0$

Пусть $b = | \frac{a}{2}-2|\ \textgreater \ 0$ , тогда

$x^2 + 4x +b \ \textless \ 0$

Выражение слева обращается в нуль при
$x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{2^2-1*b} = -2 \pm \sqrt{4-b}$
Неравенство выполняется при
$-2 - \sqrt{4-b} \ \textless \ x \ \textless \ -2 + \sqrt{4-b}$
Т.е. при $b=4; \:\:\: x =-2$ выражение слева обращается в нуль и неравенство не выполняется.

Чтобы существовало хотя бы одно решение, нужно чтобы
$0 \leq b \ \textless \ 4$

$0 \leq | \frac{a}{2}-2| \ \textless 4 \\ \\ 0 \leq | a-4| \ \textless 8 \\ \\ 1) \: a-4 \geq 0; \:\:\: 0 \leq a-4 \textless 8; \:\:\: 4 \leq a \textless 12 \\ \\ 2) \: a-4 \ \textless \ 0; \:\:\: 0 \leq -a+4 \textless 8; \:\:\: -4 \leq -a \textless 4; \:\:\: -4 \leq a \textless 4$

Объединяем:
$-4 \leq a \textless 12$

Считаем целые а в этом интервале:
-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
Проверка показывает, что при а=-4 дискриминант тоже обращается в нуль, а это приводит к тому, что исходное неравенство не выполняется. Поэтому всего 15 целых значений.