Всё почленно сложить:
3х+3у+3u+3v=-9
делим обе части на 3:
х+у+u+v=-3
(подставим из уравнения х+у+u=4, найдем v)
4+v=-3
v=-7
(подставим из системы уравнений y+u+v=-5, найдем х)
х-5=-3
х=2
u+v+x=0 (подставив известные v и х, найдем u)
u-7+2=0
u=5
v+x+y=-8 (подставив известные v и х, найдем y)
-7+2+y=-8
y=-8+5
y=-3
Ответ: х=2; у=-3; u=5; v=-7.