Доказать , что в правильном шестиугольнике ABCDEF диагональ AC делит его ** 2 фигуры ,...

Question

Доказать , что в правильном шестиугольнике ABCDEF диагональ AC делит его на 2 фигуры , площади которых пропорциональны числам 1:5

Answer 1

синусы какие-то и корни :((( кто же так решает :(((

Точки А и С соединяем с центром О шестиугольника. Пролучаем РОМБ.

(И не просто ромб, а составленный из 2 равносторонних треугольников АОВ и ВСО. Если это КОМУ-ТО непонятно, ну посидите пару часов над рисунком, и подумайте, какой получится равнобедренный треугольник с углом при вершине 360/6 = 60 градусов. Но я отвлекся.)

Площадь этого ромба 1/3 площади шестиугольника. А площадь треугольника АВС равна половине площади ромба, то есть 1/6 площади шестиугольника. Значит "оставшаяся" фигура имеет площадь 5/6 площади шестиугольника. 

КОНЕЧНО, найти отношение этих площадей НЕОБЫКНОВЕННО трудно, но ЧТО-ТО мне подсказывает, что это 1/5. :)))))))))))))

 

Answer 2

Пусть сторона шестиугольника равна а. Площадь шестиугольника равна площади шести равносторонних треугольников со стороной а, и она равна 1/2*a*a*sin60=6*sqrt(3)*a^2/4 (по формуле S=1/2*a*b*sin[угла между сторонами a и b]). Треугольник ABC равнобедренный с боковой стороной а и  углом при вершине 120 градусов. Тогда его площадь равна 1/2*a*a*sin120=sqrt(3)*a^2/4. Площадь оставшейся части равна 6*sqrt(3)*a^2/4-sqrt(3)*a^2/4=5*sqrt(3)*a^2/4, значит, эти площади относятся как 1:5.